ช่วงที่ทำให้อเล็กซ์เริ่มสนใจในดนตรีอย่างจริงจังน่าจะเป็นช่วงปี 2001 ที่เขาอายุได้ 15 ปี ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่อเล็กซ์ในวัยแตกหนุ่มกำลังค้นหาตัวเอง และในตอนนั้นเองที่เขาได้รับกีตาร์ตัวแรกเป็นของขวัญวันคริสต์มาสจากครอบครัว ก่อนที่ในปี 2002 เขาจะฟอร์มวงดนตรีที่มีชื่อว่า Arctic Monkeys ขึ้นมาร่วมกับ แมตต์ เฮลเดอร์ส มือกลอง เพื่อนที่อเล็กซ์คบหามาตั้งแต่อายุ 5 ปี, แอนดี้ นิโคลสัน มือเบสคนแรกของวง (ปัจจุบันคือ นิค โอมัลลีย์) และเจมี่ คุก มือกีตาร์
อเล็กซ์ เทอร์เนอร์ หรือชื่อเต็ม อเล็กซานเดอร์ เดวิด เทอร์เนอร์ เกิดเมื่อวันที่ 6 มกราคม 1986 ที่ไฮกรีน นอกเมืองเชฟฟีลด์ ประเทศอังกฤษ เขาเป็นลูกชายเพียงคนเดียวในครอบครัวที่ทั้งคุณพ่อและคุณแม่เป็นครูสอนหนังสือ โดยคุณพ่อ เดวิด เทอร์เนอร์ เป็นครูสอนวิชาดนตรีและฟิสิกส์ ส่วนคุณแม่ เพนนี เทอร์เนอร์ เป็นครูสอนภาษาเยอรมัน อเล็กซ์เรียนจบจากโรงเรียนมัธยมสต๊อกบริดจ์ สถานที่ที่เขาได้พบกับ แอนดี้ นิโคลสัน มือเบสยุคเริ่มต้นของวง ก่อนที่เขาจะเข้าศึกษาต่อทางด้านสื่อและเทคโนโลยีดนตรีที่วิทยาลัยบาร์นสลีย์